четверг, 1 сентября 2016 г.

Уравнения оседания кристаллов и фильтрации расплава | Equations of crystal segregation and melt filtration

В магматической камере происходит кристаллизация минералов, их осаждение и отжим остатков расплава. Кристаллизующие минералы отличаются по составу и свойствам (например, плотности) от расплава, поэтому осаждение кристаллов приводит к постепенному изменению состава кристаллов и, как следствие, возникновению слоёв с различным химическим составом. Этому процессу мы обязаны в том числе и формированию рудных залежей. 
В этом посте я хочу привести подборку некоторых уравнений, которыми описываются эти процессы.

A number of processes takes place inside a magmatic chamber, including mineral crystallization, sedimentation of those crystals, and removal of residual melt. Crystallizing minerals differ from coexisting melt by chemical composition and physical properties like density, so that mineral sedimentation results in a formation of layers with different chemical compositions. We should be grateful, because, at least, some ore deposits are formed that way.
This post lists a bunch of equations governing those processes.


Лучшим бытовым примером происходящего является кастрюлька с рисом. Мы засыпаем рис в холодную воду, и он оседает на дно ёмкости. Затем вода постепенно нагревается и начинает конвектировать (бурление на поверхности). В какой-то момент скорость тока воды становится достаточной, чтобы подхватить эти рисинки, так что они перемещаются вместе с ней. По мере готовки рис набирает воду, и в какой-то момент, буквально за секунды, из кастрюльки, в которой бурлит вода, мы получаем кастрюлю, полную риса, в котором движется вода. Свойства этой почти готовой биомассы кардинально отличаются от воды с рисом. И когда мы опрокидываем кастрюлю в дуршлаг, остатки воды вытекают из кучки риса.
Задача состоит в том, чтобы уметь в любой момент времени сказать, с какой скоростью движется вода и рис.

The best casual model of that magmatic chamber is a cooking pot with rice. When you put rice in a still cold water, it goes down. When water warms, so that it starts convection (to seethe). At one moment rate of that convection is high enough to drag seeds and move them within the flux. Rice consumes water, so it swells. Once it reaches specific size, it eventually forms a single piece, stiff enough to stop circulation and just hold the rest of water. Properties of that substance are drastically other from water. And when we finish cooking by throwing that mass in a colander, residual water escapes the rice.
The goal is to be able to say velocity of rice and water at any moment of time. 

"Честное" решение данной задачи, которая называется "дисперсная фаза в двухфазных потоков", крайне затруднительно или вовсе невозможно: мы не знаем пространственное распределение кристаллов, их точные размеры и множество других деталей. Поэтому не имеет практического смысла попытка решения этой задачи на основе общих формул типа уравнения Навье-Стокса. Не считая того, что численная схема уже непроста, погрешности, вносимые недостоверностью исходных данных, будет заведомо превышать возможные плюсы (я не говорю сейчас о моделировании каких-либо конкретных объектов, когда можно сделать привязку к реальным наблюдениям).
Таким образом, целесообразно использовать несколько простых и наглядных зависимостей, которые будут ещё и гораздо быстрее для вычисления.

A "fair" solution of this problem, called "two phase flow", is a very complicated or nearly impossible, because we do not know a lot of parameters like spatial distribution of crystals, their exact size and many other details. So that there is no sense to solve a full system of basic equations like Navier-Stokes. Computation of it is not easy already, and uncertainties coming from lack of exact parameters will be much more than all possible merits (excluding modeling of very specific objects, where we can actually measure all the inputs). 
So it is much more reasonable to use a set of simple and straightforward equations, which will also be much "cheaper" for calculations.

Связь скорости движения жидкой и твёрдой фазы, в том случае, если они движутся под действием силы гравитации (лёгкая фаза - вверх, тяжёлая - вниз).
A relationship between velocities of liquid and solid phases, if they move because of gravity (light phase upwards, and heavy downwards).
\[ v_m \cdot F = -v_s \cdot (1-F) \]
$ v_m $ - скорость жидкой фазы / melt velocity, $ v_s $ - скорость твёрдой фазы / velocity of solid, $F$ - объёмная доля расплава / volume fraction of melt ($1-F$ - объёмная доля твёрдой фазы / fraction of solid).
Это уравнение автоматически следует из того, что у нас не должно образовываться пустот: сколько у нас утекло расплава, столько должно приплыть твёрдой фазы. Потоки вещества в противоположных направлениях (откуда знак "минус") должны быть равны.
That equation automatically comes from a fact, that no voids should form. Amount of departed melt should equal to amount of solid arrived. Fluxes in different direction (it's why there is a minus sign) must be equal.

Скорости перемещения твёрдой фазы в зависимости от доли жидкости.
Velocities of solid phase in dependence of liquid fraction.

\[ \begin{cases} v_m - v_s = b\frac{r^2g(\rho_m-\rho_s)}{\eta} \\ v_s = -F\cdot b\frac{r^2g(\rho_m-\rho_s)}{\eta} \\ v_m = -v_s\frac{1-F}{F} \end{cases} \]
Так записывается система уравнений для скоростей движения жидкой и твёрдой фазы под действием силы тяжести ($g$ - ускорение свободного падения, $\rho_m-\rho_s$ - разница плотностей жидкой и твёрдой фазы, $\eta$ - динамическая вязкость, $r$ - характеристический радиус кристаллов). $b$ - константа, набор уравнений для которых будет дан в следующей части.
There's a system of equations to describe velocities of solid and liquid in gravity field ($g$ - acceleration, $\rho_m-\rho_s$ - density difference between solid and liquid, $\eta$ - dynamic  viscosity, $r$ - characteristic radius of mineral grains). $b$ is a constant discussed in the next section.

Коэффициент $b$ зависит от проницаемости $k_p$ (это отличная от пористости, то есть доли жидкости $F$, величина), которая сама зависит от доли жидкости. В частности, она зависит от упаковки кристаллов. Упаковка же кристаллов будет в общем случае близка к случайной плотной упаковке, процент заполнения пространства в которой около 60% (Random close pack). Большая часть формул является эмпирической или полуэмпирической; два крайних случая довольно известны - это закон Стокса при малой доли твёрдой фазы и закон Дарси при малом количестве жидкости.
Coefficient $b$ depends on permeability $k_p$ (which is different from porosity, a ratio of liquid phase to the whole system, $F$), which itself depends on liquid fraction. It particularly depends on crystal packing. In general case, the latter one will be close to random close pack. Two near-end cases laws are pretty well-known: Stokes law for a small sphere falling down in liquid, and Darcy flux in case of small amount of liquid filtering through grains of solid material.
\[ b = \frac{k_p}{r^2\cdot F} = \begin{cases} 2/9; & F > 0.9; & \mbox{Stokes} \\ \frac{2F}{75(1-F)}; & 0.65 \le F \le 0.9; & \mbox{Ergun-Orning} \\ 5/7\cdot F^{4.5}; & 0.08 \le F \le 0.65; & \mbox{Rumpf-Gupta} \\ \frac{F^2}{1000\cdot(1-F)^2}; & F \le 0.08; & \mbox{Blake-Kozeny-Carman} \end{cases} \]

Однако эти скорости ещё не означают, что именно с ними кристаллы будут осаждаться. В том случае, если жидкость течёт слишком быстро, кристаллы будут, как рисинки, подхвачены потоком, и они просто не будут успевать осаждаться. Самым простым критерием, будут ли кристаллы осаждаться, является то, выше ли их скорость скорости конвекции жидкости. Это соотношение называется числом Роуза (Rouse number):
\[ S = \frac{v_s}{\kappa\cdot w} \]
где $w$ - как бурлит водичка среднеквадратичное значение скорости перемещения жидкости в вертикальном направлении на половине глубины слоя конвектирующего расплава, а $\kappa$ - параметр фон Кармана. Как ни странно, в научных статьях по магматическим системам про этот параметр благополучно забывают, хотя в некоторых и отмечается, что осаждение кристаллов идёт вплоть до $v_s < w/2$. Странным образом это значение очень напоминает величину параметра фон Кармана, которую считают постоянной и равной примерно 0.4.


Calculated velocity of solid particle does not actually mean that particle will settle. It depends on how vigorously liquid is convecting, so that drag force of it might be strong enough to carry them like rice in your cooking pot. The simplest criteria for sedimentation is that crystals velocity should be higher than those of convecting fluid. This ratio is called Rouse number:
\[ S = \frac{v_s}{\kappa\cdot w} \]
where $w$ - rate of water mixing root mean square vertical component of the fluid velocity at mid-depth of the convecting layer,  and $\kappa$ is von Karman constant. I was surprised a bit to find out that the latter one is omitted in petrological research papers; however some of them still point out, that sedimentation goes at least until $v_s < w/2$. It is an awkward moment, but that value is pretty close to the actual value of von Karman parameter, which is around 0.4.

Для оценки величины $w$ есть такая формула, где $\kappa_T$ - это теплопроводность, $h$ - толщина слоя конвектирующей жидкости, $\alpha$ - коэффициент термического расширения, $\Delta T$ - перепад температур в слое:
\[ w \approx 0.06 h \sqrt[3]{\kappa_T} \left( \frac{1}{\eta} g\alpha \rho \Delta T \right)^{2/3}\]
Formula above can provide you with an estimate of the blablabla convecting fluid velocity blablabla value using thermal conductivity $\kappa_T$, liquid layer thickness $h$, thermal expansion coefficient $\alpha$ and temperature difference at layer boundaries $\Delta T$.

Для случаев, когда доля кристаллов очень мала (порядка 1%), используются другие выражения для оценки возможности оседания кристаллов для ламинарной и турбулентной, соответственно, конвекций в жидкости:
If crystal fraction is very small (~1%), following criteria of crystal settling are proposed for laminar and turbulent convections, respectively:
\[ S_{lam} > \frac{r}{h(1-F)^{1/2}} ; \phantom{MMMMM} S_{turb} > \frac{r \sqrt{\rho \cdot w } }{\sqrt{\eta h (1-F)}} \]

Литература | References
  • Abe Y. 1995: Basic equations for the evolution of partially molten mantle and core, The Earth's central part, its structure and dynamics, 215-230.
  • Martin D. & Nokes, R. I. 1989: A Fluid-Dynamical Study of Crystal Settling in Convecting Magmas, Journal of Petrology, 30, 1471-1500.
  • Solomatov, V. S. & Stevenson, D. J. 1993: Suspension in Convective layers and style of differentiation of a terrestial magma ocean, Journal of geophysical research, 98, 5375-5390.

Комментариев нет:

Отправить комментарий